八年级数学二次根式的乘除本章节核心是掌握二次根式乘除的基本法则，能利用法则进行运算并将结果化为最简二次根式，是二次根式运算的基础，也是后续学习加减运算的前提，所有运算均建立在二次根式有意义的基础上（被开方数≥0，分母≠0）。一、二次根式的乘法 1. 基本法则若 a ， b 都有意义（即 a≥0 ， b≥0 ），则： a ⋅ b = ab 文字表述：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。拓展：多个二次根式相乘同样适用，如 a ⋅ b ⋅ c = abc （ a≥0 ， b≥0 ， c≥0 ）。 2. 法则的逆用（核心化简工具），作用：将被开方数中能开得尽方的因数 / 因式开出来，是二次根式化简的关键步骤。 3. 乘法运算注意事项 ① 运算前先确认被开方数非负，无意义的二次根式不能参与运算；② 结果必须化为最简二次根式（后续详细讲解）；③ 若被开方数是带分数，先化为假分数再运算（如 1 2 1 需先变成 2 3 ）。例： 2 ⋅ 8 = 2×8 = 16 =4 ； 3 ⋅ 12 = 36 =6 。二、二次根式的除法 1. 基本法则若 a ， b 都有意义（即 a≥0 ， b>0 ），则： b a = b a 文字表述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。关键：分母的被开方数 b>0 （分母不能为 0）。 2. 法则的逆用，作用：将分母中的根号化去（即分母有理化），或把被开方数的分母开出来。 3. 核心考点：分母有理化定义把分母中的根号化去，使分母变成有理数（整数 / 分数）的过程，称为分母有理化，是二次根式除法的核心要求。基本方法（八年级重点掌握 2 种）分母是单二次根式：分子、分母同乘分母的二次根式，利用 a ⋅ a =a （ a≥0 ）消去分母根号。例： 2 1 = 2 × 2 1× 2 = 2 2 ； 5 3 = 5 × 5 3 × 5 = 5 15 。分母是含分母的二次根式：先利用除法逆用拆分，再有理化。例： 3 2 = 3 2 = 3 6 。有理化因式能与原式相乘消去根号的式子，如 a 的有理化因式是 a ， 2 + 3 的有理化因式是 2 − 3 （八年级后期接触）。三、最简二次根式（乘除运算的最终要求）所有二次根式乘除运算的结果，必须化为最简二次根式，判断标准有 2 个，缺一不可：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（如 8 不是最简，因为 8 有开得尽方的因数 4； x 2 y 不是最简，因为 x 2 是开得尽方的因式）；被开方数中不含分母（如 2 1 不是最简，需有理化）。最简二次根式的化简步骤去分母：利用除法逆用将分母移到根号外，再分母有理化；开方：将被开方数中能开得尽方的因数 / 因式开出来（逆用乘法法则）。例：化简 24 → 4×6 = 4 × 6 =2 6 ；化简 2 50 → 2 50 = 25 =5 。四、二次根式的乘除混合运算运算步骤统一法则：将乘除混合运算转化为被开方数的乘除混合运算（ a ⋅ b ÷ c = a⋅b÷c ， a≥0 ， b≥0 ， c>0 ）；化简被开方数：先计算被开方数的乘除，约去分子分母的公因数；化为最简：将结果按最简二次根式的标准化简，最终分母不含根号。例： 18 ⋅ 2 1 ÷ 3 解：原式 = 18× 2 1 ÷3 = 9÷3 = 3 。运算技巧系数与系数相乘除，二次根式部分与二次根式部分相乘除，再合并结果；例： 2 3 ×3 2 =(2×3)×( 3 × 2 )=6 6 ； 6 6 ÷2 2 =(6÷2)×( 6 ÷ 2 )=3 3 。先化简再运算，能减少计算量（优先把所有二次根式化为最简，再乘除）。五、常见易错点总结忽略被开方数的取值范围：如错误计算 −2 ⋅ −3 = 6 （无意义，被开方数为负）；带分数直接参与运算：如 2 4 1  = 2 × 4 1 ，正确做法是先化为 4 9 = 2 3 ；运算后不化简：如把 12 作为最终结果，未化为 2 3 ；分母有理化漏乘分子：如 3 1  = 3 × 3 1 = 3 1 ，正确是分子分母同乘 3 ，得 3 3 ；系数与被开方数混淆：如错误计算 3 2 × 2 =3 4 =3×2=6 （此计算结果正确，但更简洁的是 3×( 2 × 2 )=3×2=6 ，避免混淆即可）。