八年级数学 二次根式 核心知识点（体系化梳理） 本部分是二次根式的入门核心，围绕定义、双重非负性、基本性质、最简二次根式展开，是后续二次根式运算的基础，也是八年级同步课程的核心考点，内容由浅入深、贴合课堂进度。 一、二次根式的定义 一般地，我们把形如 a ​ (a≥0) 的式子叫做二次根式。 关键解读 根指数为2（二次根式的根指数 2 通常省略不写，注意与三次根式 3 a ​ 区分）； 形式上必须包含二次根号 ​ ； 被开方数 a 的取值是核心： a≥0 （这是二次根式有意义的前提）。 举例 是二次根式： 2 ​ 、 x+1 ​ (x≥−1) 、 0 ​ （被开方数均非负）； 不是二次根式： −3 ​ （被开方数为负）、 3 4 ​ （根指数为 3）、 2 a ​ （注意： 2 a ​ 是二次根式的倍数形式，属于二次根式，此为易混点）。 二、二次根式的双重非负性（核心考点） 二次根式 a ​ (a≥0) 本身具有双重非负性，是八年级填空、选择的高频考点，必须熟记： 被开方数非负： a≥0 ； 二次根式本身的值非负： a ​ ≥0 。 典型应用：求字母取值 / 代数式的值 例：若 x−2 ​ + y+3 ​ =0 ，求 x+y 的值。解：∵ x−2 ​ ≥0 ， y+3 ​ ≥0 ，两个非负数的和为 0，则各自为 0∴ x−2=0 ， y+3=0 → x=2 ， y=−3 → x+y=−1 。 三、二次根式有意义的条件（定义延伸） 求二次根式中字母的取值范围，只需紧扣被开方数非负；若二次根式出现在分母中，需额外满足分母不为 0（双重条件）。 分类例题 单二次根式：求 3x−6 ​ 有意义的 x 的取值范围 解： 3x−6≥0 → x≥2 。 二次根式在分母：求 2−x ​ 1 ​ 有意义的 x 的取值范围 解： { 2−x≥0 2−x ​  =0 ​ → 2−x>0 → x<2 。 多个二次根式组合：求 x−1 ​ + 3−x ​ 有意义的 x 的取值范围 解： { x−1≥0 3−x≥0 ​ → 1≤x≤3 。 四、二次根式的基本性质（化简、运算的基础） 以下性质均为八年级阶段核心，需结合取值范围熟记，切勿忽略条件： 性质公式 适用条件 文字解读 举例 ( a ​ ) 2 =a a≥0 非负数的算术平方根的平方，等于它本身 ( 5 ​ ) 2 =5 ， ( x−2 ​ ) 2 =x−2(x≥2) $\sqrt{a^2} = a = \begin{cases}a & (a\geq0) \ -a & (a<0)\end{cases}$ a 为任意实数 一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值 $\sqrt{(-3)^2}= -3 =3 ， \sqrt{7^2}=7 ， \sqrt{(x-1)^2}= x-1 $ ab ​ = a ​ ⋅ b ​ a≥0 ， b≥0 积的算术平方根，等于算术平方根的积 12 ​ = 4×3 ​ = 4 ​ × 3 ​ =2 3 ​ b a ​ ​ = b ​ a ​ ​ a≥0 ， b>0 商的算术平方根，等于算术平方根的商 9 2 ​ ​ = 9 ​ 2 ​ ​ = 3 2 ​ ​ 易错点提醒 ( a ​ ) 2 和 a 2 ​ 的区别：前者被开方数 a≥0 ，结果就是 a ；后者 a 为任意数，结果是 ∣a∣ （八年级最易出错的性质）； 积 / 商的性质中， b 的取值：乘法中 b≥0 ，除法中 b>0 （分母不能为 0）。 五、最简二次根式（化简的最终目标） 二次根式的化简、加减运算均需先化为最简二次根式，定义为满足以下两个条件的二次根式： 被开方数中不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即被开方数的因数都是质数，因式都是最简整式）。 举例 最简二次根式： 2 ​ 、 3 5 ​ 、 x+1 ​ (x≥−1) （满足两个条件）； 非最简二次根式： 8 ​ （含能开方的因数 4）、 3 1 ​ ​ （含分母）、 12x 2 ​ (x≥0) （含能开方的因式 x 2 ）。 二次根式化简的基本步骤 去分母：利用商的性质，将分母中的根号化去（八年级阶段主要是分母为单个二次根式的情况，如 2 1 ​ ​ = 2 2 ​ ​ ）； 开方因数 / 因式：将被开方数中能开得尽方的因数 / 因式开方后移到根号外，如 18 ​ = 9×2 ​ =3 2 ​ ， 27x 3 ​ =3x 3x ​ (x≥0) 。