八年级数学 / 分式 / 分式的乘法与除法 一、核心法则（必背） 1. 分式乘法法则 两个分式相乘，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。字母表示： b a ​ × d c ​ = b×d a×c ​ = bd ac ​ ​ （其中 a,b,c,d 是整式，且 bd  =0 ​ ）。 2. 分式除法法则 分式除以分式，等于被除式乘以除式的倒数（即将除式的分子、分母颠倒位置后再相乘）。字母表示： b a ​ ÷ d c ​ = b a ​ × c d ​ = bc ad ​ ​ （其中 a,b,c,d 是整式，且 bcd  =0 ​ ）。 二、运算步骤（四步法） 1. 准备阶段 符号判断：数负号个数，偶数个为正，奇数个为负，先确定结果符号。 整式处理：整式看作分母为 1 的分式，如 5= 1 5 ​ 。 多项式因式分解：分子或分母为多项式时，先分解因式（提公因式、平方差、完全平方等）。 2. 转化阶段（除法专用） 将除号变为乘号，同时把除式的分子分母颠倒位置，转化为乘法运算。 3. 计算阶段 分子相乘、分母相乘，写成一个分式形式。 4. 化简阶段（关键步骤） 约分：分子分母同时除以它们的公因式，直至化为最简分式（分子分母没有公因式）或整式。 技巧：先约分再相乘，可简化计算量。 三、典型例题解析 例 1：单项式分式乘法 计算： 3y 2x ​ × 4x 2 9y 2 ​ 步骤： 符号：正（无负号） 直接相乘： 3y×4x 2 2x×9y 2 ​ 约分（先约更简便）： 3y×4x 2 2x×9y 2 ​ = 3y ​ ×2× 2x ×x 2x × 3y ​ ×3y ​ = 2x 3y ​ 结果： 2x 3y ​ ​ 例 2：多项式分式乘法 计算： x 2 +2x x 2 −4 ​ × x−2 x ​ 步骤： 因式分解： x 2 −4=(x+2)(x−2) ， x 2 +2x=x(x+2) 代入原式： x(x+2) (x+2)(x−2) ​ × x−2 x ​ 约分（约去公因式 x 、 x+2 、 x−2 ）： x ​ (x+2) ​ (x+2) ​ (x−2) ​ ​ × x−2 ​ x ​ ​ =1 结果： 1 ​ 例 3：分式除法 计算： a 2 +6a+9 a 2 −9 ​ ÷ a+3 a−3 ​ 步骤： 因式分解： a 2 −9=(a+3)(a−3) ， a 2 +6a+9=(a+3) 2 转化为乘法： (a+3) 2 (a+3)(a−3) ​ × a−3 a+3 ​ 约分（约去公因式 a+3 、 a−3 ）： (a+3) ​ 2 (a+3) ​ (a−3) ​ ​ × a−3 ​ a+3 ​ ​ =1 结果： 1 ​ 例 4：混合运算（含整式） 计算： 6x 2 y÷ 2z 3xy 2 ​ 步骤： 整式变分式： 6x 2 y= 1 6x 2 y ​ 转化为乘法： 1 6x 2 y ​ × 3xy 2 2z ​ 约分计算： 3xy 2 6x 2 y×2z ​ = 3 ​ × x ​ × y ​ ×y 3 ​ ×2× x ​ ×x× y ​ ×2z ​ = y 4xz ​ 结果： y 4xz ​ ​ 四、注意事项（易错点警示） 分母不为零：运算中始终保证所有分母及除式不为零，即 b  =0 ， d  =0 （乘法）； b  =0 ， c  =0 ， d  =0 （除法）。 先约后乘：切勿先盲目相乘再约分，易导致计算复杂且出错。 符号问题：单独的负号可看作分母为 1 的分式，如 −a= 1 −a ​ ；注意分子或分母是多项式时，负号要分配到每一项。 结果要求：最终结果必须是最简分式或整式，不能保留能约分的形式。 因式分解要彻底：分解不彻底会导致无法正确约分，如 x 2 −4 必须分解为 (x+2)(x−2) ，不能停留在 x 2 −4 阶段。 五、知识体系与衔接 前导知识：分数乘除法、因式分解、分式基本性质。 后续知识：分式的乘方、分式的混合运算、分式方程。 核心思想：类比分数乘除法法则，利用 “数式通性” 将分数运算推广到分式运算，体现转化与化归的数学思想。