八年级数学 / 因式分解 / 用公式法分解因式 一、知识框架（符合教学大纲核心要求） 公式法分解因式的定义：利用乘法公式的逆运算，将多项式分解为几个整式乘积的形式（本质是 “和差化积”，与整式乘法 “积化和差” 互为逆过程）。 核心公式（八年级必掌握 2 个基础公式）： 平方差公式 完全平方公式 适用条件：多项式需符合对应公式的结构特征，无需先提公因式（若有公因式需先提公因式，再用公式法）。 核心步骤：判断结构→匹配公式→验证结果→分解彻底。 二、核心公式详解（含结构特征 + 易错点） （一）平方差公式 1. 公式形式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) （文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积） 2. 结构特征（3 个关键条件，缺一不可） 多项式是二项式（只有两项）； 两项的符号一正一负（必须是 “差” 的形式，不能是 “和”）； 每一项都能写成某个整式的平方形式（含数字系数、字母、多项式整体的平方）。 3. 常见易错点 忽略数字系数的平方：如 4x 2 −9 ，需先转化为 (2x) 2 −3 2 ，再套用公式； 误用于 “平方和”：如 x 2 +4 不能用平方差公式分解（无实数解，八年级阶段不分解）； 分解不彻底：如 x 4 −16 ，需先分解为 (x 2 +4)(x 2 −1) ，再对 x 2 −1 继续分解为 (x+1)(x−1) ，最终结果为 (x 2 +4)(x+1)(x−1) 。 4. 典型例题 基础题：分解 x 2 −16 解： x 2 −16=x 2 −4 2 =(x+4)(x−4) 数字系数含平方：分解 25a 2 −4b 2 解： 25a 2 −4b 2 =(5a) 2 −(2b) 2 =(5a+2b)(5a−2b) 多项式整体为平方：分解 (x+2) 2 −9 解： (x+2) 2 −9=(x+2) 2 −3 2 =[(x+2)+3][(x+2)−3]=(x+5)(x−1) 分解彻底：分解 16x 4 −y 4 解： 16x 4 −y 4 =(4x 2 ) 2 −(y 2 ) 2 =(4x 2 +y 2 )(4x 2 −y 2 )=(4x 2 +y 2 )(2x+y)(2x−y) （二）完全平方公式 1. 公式形式（两式：和的平方、差的平方） a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 a 2 −2ab+b 2 =(a−b) 2 （文字表述：两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的 2 倍，等于这两个数的和或差的平方） 2. 结构特征（3 个关键条件，缺一不可） 多项式是三项式（含三项，核心是 “首尾平方项 + 中间交叉项”）； 首尾两项是非负的平方形式（符号相同，可提取负号后转化为平方，如 −x 2 +2xy−y 2 =−(x 2 −2xy+y 2 ) ）； 中间项是首尾两项底数乘积的 2 倍（符号与公式中的 “±” 一致，即和的平方中间为正，差的平方中间为负）。 3. 记忆口诀（帮你快速判断） “首平方，尾平方，首尾乘积的 2 倍在中央，符号看前方，完全平方把名扬”。 4. 常见易错点 中间项漏乘 2：如 x 2 +xy+y 2 不是完全平方式（中间项应为 2xy ）； 首尾项不是平方数：如 x 2 +6x+8 （尾项 8 不是平方数，不能用完全平方公式）； 符号判断错误：如 x 2 −8x+16 ，中间项为负，对应 “差的平方”，分解为 (x−4) 2 ； 首项系数不为 1 时忽略转化：如 4x 2 −12xy+9y 2 ，需先转化为 (2x) 2 −2⋅2x⋅3y+(3y) 2 ，再套用公式。 5. 典型例题 基础题（和的平方）：分解 x 2 +10x+25 解： x 2 +10x+25=x 2 +2⋅x⋅5+5 2 =(x+5) 2 基础题（差的平方）：分解 a 2 −8a+16 解： a 2 −8a+16=a 2 −2⋅a⋅4+4 2 =(a−4) 2 首项系数不为 1：分解 9x 2 +12xy+4y 2 解： 9x 2 +12xy+4y 2 =(3x) 2 +2⋅3x⋅2y+(2y) 2 =(3x+2y) 2 含负号：分解 −x 2 +6xy−9y 2 解：先提取负号→ −(x 2 −6xy+9y 2 )=−[x 2 −2⋅x⋅3y+(3y) 2 ]=−(x−3y) 2 三、公式法分解因式的核心步骤（通用流程） 先提公因式：若多项式各项有公因式，先提取公因式（如 2x 2 −8=2(x 2 −4) ，再对 x 2 −4 用平方差公式）； 判断结构： 二项式→看是否为 “平方差”（一正一负、两项均为平方）； 三项式→看是否为 “完全平方式”（首尾平方、中间 2 倍乘积）； 套用公式：根据结构匹配对应公式，注意符号和系数的转化； 验证彻底：分解后检查每个因式是否还能继续分解（如 x 4 −1 需分解到 (x 2 +1)(x+1)(x−1) ）； 检验结果：用整式乘法逆推验证（如 (x+3)(x−3)=x 2 −9 ，与原式一致则正确）。 四、综合练习题（基础→提升，附解析思路） 1. 基础题（直接套用公式） （平方差） m 2 −9n 2 → 思路： (m) 2 −(3n) 2 =(m+3n)(m−3n) （完全平方） x 2 −12x+36 → 思路： x 2 −2⋅x⋅6+6 2 =(x−6) 2 2. 提升题（先提公因式 + 公式） 3a 3 −12a → 思路：先提 3a → 3a(a 2 −4) ，再用平方差→ 3a(a+2)(a−2) 2x 2 y−8xy+8y → 思路：先提 2y → 2y(x 2 −4x+4) ，再用完全平方→ 2y(x−2) 2 3. 拓展题（多项式整体为底数） (a+b) 2 −(c−d) 2 → 思路：平方差公式→ [(a+b)+(c−d)][(a+b)−(c−d)]=(a+b+c−d)(a+b−c+d) (x 2 +1) 2 −4x 2 → 思路：平方差→ [(x 2 +1)+2x][(x 2 +1)−2x]=(x+1) 2 (x−1) 2 （后续两个因式均为完全平方式） 五、中考高频考点总结 公式的灵活运用：尤其是含数字系数、多项式底数的分解（如 (2x−y) 2 −(x+2y) 2 ）； 分解彻底的要求：中考评分标准中，未分解彻底不得满分（如 x 4 −16 只分解到 (x 2 +4)(x 2 −4) 得一半分）； 与其他知识点结合：常与一元二次方程、分式化简、代数式求值结合（如先分解因式再代入计算：已知 x+y=5 ， x−y=3 ，求 x 2 −y 2 的值→分解为 (x+y)(x−y)=5×3=15 ）。