八年级数学 / 整式的乘法 / 乘法公式 乘法公式是整式乘法的核心内容，主要包括平方差公式和完全平方公式，它们是多项式乘法的特殊形式，能大幅简化运算。以下按 “公式 - 推导 - 结构 - 应用 - 题型 - 易错点” 的逻辑系统梳理，方便学习与复习。 一、基础运算回顾（前置知识） 运算类型 公式 语言描述 同底数幂乘法 a m ⋅a n =a m+n 底数不变，指数相加 幂的乘方 (a m ) n =a mn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab) n =a n b n 积的每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 多项式乘法 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 用一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再相加 二、核心乘法公式详解 1. 平方差公式 标准形式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 推导过程（多项式乘法展开）： (a+b)(a−b) ​ =a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b) =a 2 −ab+ab−b 2 =a 2 −b 2 ​ 结构特点： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（ a ），另一项互为相反数（ b 与 −b ） 右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方） 几何意义：边长为 a 的正方形中挖去边长为 b 的小正方形，剩余部分面积为 a 2 −b 2 ，可拼成一个长 (a+b) 、宽 (a−b) 的矩形 2. 完全平方公式（和与差） 完全平方和公式： 标准形式： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍 完全平方差公式： 标准形式： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍 推导过程（以和为例）： (a+b) 2 ​ =(a+b)(a+b) =a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b =a 2 +2ab+b 2 ​ 结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）： 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘） 右边：三项式，包含首项平方（ a 2 ）、尾项平方（ b 2 ）、中间交叉项的 2 倍（ ±2ab ），符号与左边二项式中间符号相同 几何意义（以和为例）：边长为 a+b 的正方形，可分为边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长 a 宽 b 的矩形，面积和为 a 2 +2ab+b 2 三、公式的灵活应用 1. 基本应用：直接套用公式 平方差公式示例： (x+3)(x−3)=x 2 −3 2 =x 2 −9 (2a+5b)(2a−5b)=(2a) 2 −(5b) 2 =4a 2 −25b 2 完全平方公式示例： (m+4) 2 =m 2 +2⋅m⋅4+4 2 =m 2 +8m+16 (3x−2y) 2 =(3x) 2 −2⋅3x⋅2y+(2y) 2 =9x 2 −12xy+4y 2 2. 变形应用：公式的逆用与拓展 公式变形 表达式 应用场景 平方差逆用 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) 因式分解、简便计算 完全平方逆用 a 2 ±2ab+b 2 =(a±b) 2 因式分解、配方 完全平方和差关系 (a+b) 2 −(a−b) 2 =4ab 求 ab 值 平方和公式 a 2 +b 2 =(a+b) 2 −2ab=(a−b) 2 +2ab 知和求平方和、知差求平方和 示例： 若 x+y=5 ， xy=3 ，求 x 2 +y 2 x 2 +y 2 =(x+y) 2 −2xy=5 2 −2×3=25−6=19 3. 特殊形式应用（换元思想） 当公式中的 a 、 b 为多项式时，可将其视为一个整体套用公式： (a+b+c)(a+b−c)=[(a+b)+c][(a+b)−c]=(a+b) 2 −c 2 =a 2 +2ab+b 2 −c 2 (x−y+z) 2 =[(x−y)+z] 2 =(x−y) 2 +2(x−y)z+z 2 =x 2 −2xy+y 2 +2xz−2yz+z 2 4. 简便计算应用 利用公式简化复杂计算： 99×101=(100−1)(100+1)=100 2 −1 2 =10000−1=9999 102 2 =(100+2) 2 =100 2 +2×100×2+2 2 =10000+400+4=10404 99 2 =(100−1) 2 =100 2 −2×100×1+1 2 =10000−200+1=9801 四、常见题型分类解析 题型 解题关键 示例 公式直接计算 识别公式结构，找准 a 、 b (−2m−3n) 2 =(2m+3n) 2 =4m 2 +12mn+9n 2 公式逆用（因式分解） 识别平方差或完全平方式 x 2 −6x+9=(x−3) 2 条件求值 利用公式变形，整体代入 已知 a−b=3 ，求 a 2 +b 2 −6ab （变形为 (a−b) 2 −4ab ） 配方求最值 配成完全平方式，利用平方非负性 求 x 2 −4x+5 最小值（配方为 (x−2) 2 +1 ，最小值 1） 化简求值 先化简再代入，避免繁琐计算 化简 (2x+1) 2 −(2x−1) 2 ，再代入 x= 4 1 ​ 五、易错点警示与避错技巧 易错点 错误示例 正确做法 完全平方漏中间项 (a+b) 2 =a 2 +b 2 牢记 “首平方，尾平方，积的 2 倍在中央”，中间项为 2ab 完全平方符号错误 (a−b) 2 =a 2 −2ab−b 2 尾项平方恒为正，应为 a 2 −2ab+b 2 平方差公式误用 (a+b)(c−d)=a 2 −b 2 必须满足 “一项同，一项反”，不同则用多项式乘法 系数未平方 (2a) 2 =2a 2 系数与字母都要平方，应为 4a 2 符号处理错误 (−a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 提取负号再平方： (−a−b) 2 =(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 避错口诀： 平方差：同方减反方，符号要对好 完全平方：和平方加两倍，差平方减两倍，尾项平方永为正 遇负号：先定号，再平方，避免符号乱 六、思维拓展：拓展乘法公式（选学） 三数和平方公式： (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc 立方和公式： (a+b)(a 2 −ab+b 2 )=a 3 +b 3 立方差公式： (a−b)(a 2 +ab+b 2 )=a 3 −b 3 总结 乘法公式是代数运算的基础工具，核心在于理解公式的结构特征与推导本质，而非死记硬背。通过大量练习掌握直接应用、逆用与变形应用，同时警惕常见易错点，就能熟练运用公式解决各类问题，为后续因式分解、二次函数等学习打下坚实基础。