八年级数学 / 整式的乘法 / 幂的运算 幂的运算核心包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂、负整数指数幂六大知识点，是整式乘法的基础，务必熟练掌握并能灵活运用。 一、核心知识点总览 运算类型 核心法则 字母表达式 适用条件 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 a m ⋅a n =a m+n a  =0 ， m,n 为正整数 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (a m ) n =a mn a  =0 ， m,n 为正整数 积的乘方 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 (ab) n =a n b n a,b  =0 ， n 为正整数 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 a m ÷a n =a m−n a  =0 ， m,n 为正整数， m>n 零指数幂 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 a 0 =1 a  =0 负整数指数幂 任何不等于 0 的数的 −p 次幂等于它的 p 次幂的倒数 a −p = a p 1 ​ a  =0 ， p 为正整数 二、分知识点详解 2.1 同底数幂的乘法 法则推导（基于幂的定义）： 个 个 个 拓展应用： 三个及以上同底数幂相乘： a m ⋅a n ⋅a p =a m+n+p （ m,n,p 为正整数） 底数可以是单项式或多项式： (x−y) 2 ⋅(x−y) 3 =(x−y) 2+3 =(x−y) 5 逆用公式： a m+n =a m ⋅a n （用于因式分解或简便计算） 例题： 计算： 2 3 ×2 5 =2 3+5 =2 8 =256 计算： a 7 ⋅a 3 =a 7+3 =a 10 逆用： a 5 =a 2+3 =a 2 ⋅a 3 易错点： 底数不同不能直接用此法则： 2 3 ×3 5  =6 8 （需先判断底数是否相同） 指数是 1 时容易忽略： a⋅a 2 =a 1+2 =a 3 （ a=a 1 ） 2.2 幂的乘方 法则推导： 个 拓展应用： 多重乘方： ((a m ) n ) p =a mnp （ m,n,p 为正整数） 逆用公式： a mn =(a m ) n =(a n ) m 例题： 计算： (10 3 ) 5 =10 3×5 =10 15 计算： (a 2 ) 4 =a 2×4 =a 8 逆用： a 12 =(a 3 ) 4 =(a 4 ) 3 =(a 6 ) 2 易错点： 与同底数幂的乘法混淆： (a 3 ) 4  =a 3+4 （幂的乘方是指数相乘，不是相加） 系数未乘方： (2a 3 ) 2  =2a 6 （正确结果： 4a 6 ，系数也要平方） 2.3 积的乘方 法则推导： 个 个 个 拓展应用： 多个因式的积的乘方： (abc) n =a n b n c n （ n 为正整数） 逆用公式： a n b n =(ab) n （用于简便计算） 例题： 计算： (2x) 3 =2 3 ⋅x 3 =8x 3 计算： (−3a 2 b) 4 =(−3) 4 ⋅(a 2 ) 4 ⋅b 4 =81a 8 b 4 逆用： 4 3 ×5 3 =(4×5) 3 =20 3 =8000 易错点： 漏乘方某个因式： (a+b) n  =a n +b n （这是完全平方公式，不是积的乘方） 符号错误： (−a) 3 =−a 3 ， (−a) 4 =a 4 （奇次幂符号不变，偶次幂符号为正） 2.4 同底数幂的除法 法则推导： 个 个 个 （ m>n ） 拓展应用： 零指数幂：当 m=n 时， a m ÷a n =a 0 =1 （ a  =0 ） 负整数指数幂：当 m<n 时， a m ÷a n =a −(n−m) = a n−m 1 ​ （ a  =0 ） 例题： 计算： 10 8 ÷10 5 =10 8−5 =10 3 =1000 计算： a 6 ÷a 2 =a 6−2 =a 4 零指数幂： (−2) 0 =1 （ −2  =0 ） 负指数幂： 2 −3 = 2 3 1 ​ = 8 1 ​ 易错点： 底数为 0 无意义： 0 0 和 0 −p 都没有意义 负指数幂的运算顺序： 2a −1  =(2a) −1 （正确： 2a −1 = a 2 ​ ） 2.5 幂的混合运算技巧 运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减 有括号的先算括号里面的 同级运算从左到右依次进行 常用技巧： 化异底为同底：如 (−a) 2 =a 2 ， (a−b) 3 =−(b−a) 3 逆用法则：灵活运用 a m+n =a m ⋅a n 、 a mn =(a m ) n 、 a n b n =(ab) n 进行简便计算 符号处理：先判断结果的符号，再计算绝对值 综合例题： 计算： (2a 2 b) 3 ⋅(3ab 2 ) 2 解：原式 =8a 6 b 3 ⋅9a 2 b 4 =72a 6+2 b 3+4 =72a 8 b 7 计算： (x 3 ) 4 ÷(x 2 ) 5 解：原式 =x 12 ÷x 10 =x 12−10 =x 2 简便计算： (− 2 1 ​ ) 2023 ×2 2024 解：原式 =(− 2 1 ​ ) 2023 ×2 2023 ×2=(−1) 2023 ×2=−2 三、巩固练习（附答案） 基础题（直接运用法则） $a^3 \cdot a^5 = （ 答 案 ： a^8$） $(x^2)^4 = （ 答 案 ： x^8$） $(3xy)^2 = $______（答案： 9x 2 y 2 ） $10^7 \div 10^3 = $______（答案： 10 4 ） $(-5)^0 = $______（答案：1） $3^{-2} = （ 答 案 ： \frac{1}{9}$） 提高题（混合运算） $(a^2)^3 \cdot a^4 = （ 答 案 ： a^{10}$） $(2a^3b)^2 \div (ab)^3 = $______（答案： 4a 3 b −1 = b 4a 3 ​ ） $(-a)^3 \cdot (a^2)^5 = （ 答 案 ： -a^{13}$） $(x-y)^3 \cdot (y-x)^2 = （ 答 案 ： (x-y)^5$） 拓展题（逆用法则） 若 a m =2 ， a n =3 ，则$a^{m+n} = $______（答案：6） 若 a m =2 ，则$a^{3m} = $______（答案：8） 计算：$0.125^{2023} \times 8^{2023} = $______（答案：1） 四、学习建议 理解本质：幂的运算都是基于 “几个相同因数相乘” 的定义推导而来，理解法则的推导过程比死记硬背更重要 区分法则：重点区分 “同底数幂相乘（指数相加）” 与 “幂的乘方（指数相乘）”，避免混淆 多做练习：从基础题到混合运算，逐步提高难度，培养运算能力 总结易错点：建立错题本，记录常见错误（如符号错误、底数不同误用法则等），定期复习 核心口诀：同底相乘，指数相加；幂的乘方，指数相乘；积的乘方，各因式分别乘方；同底相除，指数相减；零次幂为 1，负次幂为倒数。