八年级数学 / 三角形 / 用三角形的概念 一、核心概念（基础必备） 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 关键词：不在同一直线、首尾顺次相接（缺一不可，若三条线段共线或未首尾相连，均不构成三角形）。 图形表示：顶点用大写字母表示（如 A、B、C），三角形记作△ABC，读作 “三角形 ABC”。 2. 三角形的构成要素 要素 定义 / 说明 表示方式 边 组成三角形的三条线段 边 AB、边 BC、边 AC（或 a、b、c，通常 a 对应 BC，b 对应 AC，c 对应 AB） 顶点 三条线段的公共端点 顶点 A、顶点 B、顶点 C 内角（简称角） 三角形相邻两边组成的角（共 3 个，且内角和为 180°，后续重点学习） ∠A、∠B、∠C（对应顶点命名） 外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角（共 6 个，每个内角对应 2 个外角） 如∠ACD（△ABC 中，边 BC 延长至 D，∠ACD 为∠C 的外角） 3. 三角形的表示与书写规范 记作△ABC（顶点字母无顺序要求，可写作△BAC、△ACB 等）； 边的表示：可写 “边 AB” 或直接用小写字母 “c”（对应顶点 C 的对边）； 角的表示：单个角用顶点字母（如∠A），若同一顶点有多个角，需用三个字母（如∠BAD，避免歧义）。 二、三角形的分类（按概念属性划分） 1. 按边的关系分类 类型 定义 关键特征 图形示意（文字描述） 不等边三角形 三条边都不相等的三角形 三边长度均不同（a≠b≠c） 三条边长度差异明显 等腰三角形 至少有两条边相等的三角形 有 “腰” 和 “底”：相等的两边为腰，第三边为底；两腰的夹角为顶角，腰与底的夹角为底角 两条边长度相同，一条不同 等边三角形 三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形） 三边相等（a=b=c），三个内角均为 60° 三条边长度完全相同 注意：等边三角形是等腰三角形的 “特殊情况”（满足 “至少两条边相等”），但等腰三角形不一定是等边三角形。 2. 按角的大小分类 类型 定义 关键特征 图形示意（文字描述） 锐角三角形 三个内角都是锐角（小于 90°）的三角形 三个角均＜90° 三个角都比较 “尖” 直角三角形 有一个内角是直角（等于 90°）的三角形 有一个角 = 90°，另外两个角为锐角（和为 90°）；直角所对的边为斜边（最长边），另外两条边为直角边 有一个角是 “直角符号” 钝角三角形 有一个内角是钝角（大于 90° 且小于 180°）的三角形 有一个角在 90°~180° 之间，另外两个角为锐角 有一个角比较 “钝” 注意：三角形中最多只有一个直角或钝角（因为内角和为 180°，若有两个直角 / 钝角，内角和会超过 180°）。 三、三角形概念的核心应用（必练题型） 题型 1：判断是否为三角形（依据定义 + 三边关系） 解题关键： 先看三条线段是否 “不在同一直线”（题目未说明时，默认不共线）； 再验证 “首尾顺次相接”（几何图形题中，若线段端点相连，即满足）； 补充：三角形三边关系（后续重点，但概念应用中需初步掌握）——任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（不满足则无法构成三角形）。 例题： 下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）A. 2cm、3cm、5cm B. 3cm、4cm、8cm C. 4cm、5cm、6cm D. 5cm、6cm、12cm 解析： A 选项：2+3=5，不满足 “两边之和大于第三边”，不能组成； B 选项：3+4=7＜8，不满足，不能组成； C 选项：4+5=9＞6，5+6=11＞4，4+6=10＞5，且两边之差均小于第三边，能组成； D 选项：5+6=11＜12，不满足，不能组成。 答案：C 题型 2：三角形的分类判断（按边或按角） 解题关键： 按边分类：看三边长度是否相等（相等的条数）； 按角分类：看最大角的度数（最大角＜90°→锐角；=90°→直角；＞90°→钝角）。 例题 1（按边分类）： 已知△ABC 的三边长度为 AB=5cm，BC=5cm，AC=3cm，则△ABC 是（ ）A. 不等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 解析： 有两条边（AB=BC=5cm）相等，符合等腰三角形定义，且三边不都相等，不是等边三角形。答案：B 例题 2（按角分类）： 已知△ABC 中，∠A=30°，∠B=60°，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 解析： 内角和为 180°，则∠C=180°-30°-60°=90°，有一个直角，符合直角三角形定义。答案：B 题型 3：三角形要素的识别与表示 例题： 如图，在△ABC 中，（1）写出所有的边、顶点和内角；（2）写出∠B 的一个外角。 解析： （1）边：AB、BC、AC（或边 c、边 a、边 b）；顶点：A、B、C；内角：∠A、∠B、∠C；（2）延长 BC 至点 D，则∠ACD 是∠B 的一个外角（或延长 AB 至点 E，∠CBE 是∠B 的外角）。 四、易错点提醒（避免踩坑） 混淆 “等腰三角形” 与 “等边三角形” 的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，不可说 “等腰三角形不是等边三角形”； 三角形外角的定义：必须是 “一边与另一边的延长线” 组成的角，不可将内角的邻补角误判为外角（如∠ABC 的邻补角是∠ABD，但需满足 D 在 AB 的延长线上）； 三边关系的 “任意” 二字：需验证所有组合（如 a+b＞c、a+c＞b、b+c＞a），不能只验证一组； 表示规范：三角形符号 “△” 不可省略，顶点字母需大写，边和角的表示要对应（如∠A 对应边 BC）。 五、知识小结（构建体系） 核心逻辑：定义（构成条件）→ 要素（边、角、顶点）→ 分类（按边 / 按角）→ 应用（判断、识别、分类）； 关键联系：三角形的分类是基于 “边的长度关系” 或 “角的大小关系”，本质是对概念属性的细化； 后续衔接：本小节是三角形的基础，后续将学习三角形的内角和、外角性质、重要线段（中线、高线、角平分线）等，均需以概念为前提。 （生成一个时长在5分钟以内的视频）