中国古代著名的一次不定方程组问题 一、鸡兔同笼问题（《孙子算经》） 原题："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？"（约公元 5 世纪） 题意：鸡兔同笼，共有 35 个头，94 只脚，求鸡兔各多少只。 1. 古代解法：除减法（抬脚法） 将脚数除以 2：94÷2=47 用 47 减去头数 35，得兔数：47-35=12 鸡数：35-12=23 原理：让每只鸡单脚站立（剩 1 脚），每只兔双脚站立（剩 2 脚）。此时脚数 47 比头数 35 多出的 12 即为兔子数（每只兔多 1 脚）。 2. 现代解法：二元一次方程组 设鸡 x 只，兔 y 只： plaintext x + y = 35 （头数） 2x + 4y = 94 （脚数） 解法： 由第一式得：x = 35 - y 代入第二式：2 (35-y) + 4y = 94 → 70 - 2y + 4y = 94 → 2y = 24 → y = 12 则 x = 35 - 12 = 23 解：鸡 23 只，兔 12 只。 二、百钱百鸡问题（《张丘建算经》） 原题："今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何。"（约公元 5-6 世纪） 题意：公鸡每只 5 钱，母鸡每只 3 钱，小鸡 3 只 1 钱，用 100 钱买 100 只鸡，求三种鸡各多少只。 1. 数学模型 设公鸡 x 只，母鸡 y 只，小鸡 z 只： plaintext x + y + z = 100 （总只数） 5x + 3y + z/3 = 100 （总钱数） 且 x,y,z 均为非负整数，z 是 3 的倍数。 2. 解法：消元法 由第一式得：z = 100 - x - y 代入第二式并化简：7x + 4y = 100 求此方程的非负整数解： 通解： 特解：x=0，y=25，则 z=75 通解公式：x=4t，y=25-7t，z=75+3t（t 为整数） 约束条件：x≥0，y≥0，z≥0 且 z 是 3 的倍数 得 t=0,1,2,3，对应四组解： 四组解： (0, 25, 75)：0 只公鸡，25 只母鸡，75 只小鸡 (4, 18, 78)：4 只公鸡，18 只母鸡，78 只小鸡 (8, 11, 81)：8 只公鸡，11 只母鸡，81 只小鸡 (12, 4, 84)：12 只公鸡，4 只母鸡，84 只小鸡 注：《张丘建算经》原书只给出前三组解，因当时无 "0" 的概念。 三、其他经典一次不定方程组问题 1. 五家共井问题（《九章算术》） 原题：五户人家共用一口井，各有井绳。甲家绳 2 条 + 乙家绳 1 条 = 井深；乙家绳 3 条 + 丙家绳 1 条 = 井深；丙家绳 4 条 + 丁家绳 1 条 = 井深；丁家绳 5 条 + 戊家绳 1 条 = 井深；戊家绳 6 条 + 甲家绳 1 条 = 井深。求各家绳长和井深。 数学模型（设各家绳长为 a,b,c,d,e，井深 h）： plaintext 2a + b = h 3b + c = h 4c + d = h 5d + e = h 6e + a = h 特点：六元一次不定方程组（5 个方程，6 个未知数），有无数解，《九章算术》给出最小正整数解。 2. 物不知数问题（《孙子算经》，中国剩余定理原型） 原题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？" 题意：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个数。 解法（宋代秦九韶 "大衍求一术"）： 构造三个数： 70（被 5、7 整除，除以 3 余 1） 21（被 3、7 整除，除以 5 余 1） 15（被 3、5 整除，除以 7 余 1） 解：N = 70×2 + 21×3 + 15×2 - 2×105 = 23 通解：N = 23 + 105k（k 为非负整数），最小正整数解为 23。 四、中国古代一次不定方程组问题的历史价值 开创数学新领域：《张丘建算经》的 "百鸡问题" 是世界上最早关于不定方程组的完整表述，比印度早 400 多年，比西方早 1000 多年。 算法创新： 《九章算术》的 "方程术"（直除法）是现代矩阵消元法的雏形 秦九韶的 "大衍求一术" 解决了一次同余方程组问题，被称为 "中国剩余定理" 数学思想： 体现了 "化繁为简" 的转化思想（如鸡兔同笼的抬脚法） 展示了 "枚举 - 验证" 的解题策略（百钱百鸡的多解求解） 反映了中国古代数学注重实用性的特点 五、一次不定方程组的现代应用 数学教育：作为培养方程思维的经典例题，帮助理解 "多元变量" 和 "约束条件" 概念 计算机算法： 枚举法→计算机暴力搜索 消元法→线性方程组求解程序 同余问题→密码学中的 RSA 算法基础 实际问题建模： 资源分配（如生产计划安排） 组合优化（如采购方案设计） 数字游戏和谜题设计 总结 中国古代一次不定方程组问题（鸡兔同笼、百钱百鸡等）不仅展示了古人的数学智慧，也为现代数学教育和应用提供了丰富素材。这些问题的解决思路（消元法、枚举法、同余理论等）与现代二元一次方程组解法一脉相承，体现了数学思想的永恒魅力。 思考：你能尝试用二元一次方程组解决 "鸡兔同笼" 的变式问题吗？如 "鸡与兔共有 100 只，鸡脚比兔脚多 80 只，求鸡兔各多少只？"