七年级数学 / 二元一次方程组 / 实际问题与二元一次方程组 一、核心知识点（解题思想 + 关键步骤） 1. 解题核心思想 将实际问题中的未知量转化为二元一次方程组的未知数，通过求解方程组得到实际问题的答案，本质是 “数学建模”—— 用方程表示实际场景中的数量关系。 2. 完整解题步骤（六步走） 步骤 具体操作 注意事项 1. 审题 通读题目，明确已知条件、未知量，找出核心数量关系 圈画关键词（如 “比… 多”“是… 的几倍”“共”“刚好配套”） 2. 设元 设两个未知数（通常用 x、y 表示），明确未知数的含义（如 “设 x 为甲的数量，y 为乙的数量”） 避免设元模糊（如只写 “设 x、y”，不说明含义） 3. 列方程组 根据找到的两个等量关系，分别列出两个方程，组成方程组 等量关系必须 “不重复、不遗漏”，确保能解出唯一解 4. 解方程组 用代入消元法或加减消元法求解（七年级重点） 计算时注意符号，解完后可代入原方程组检验 5. 检验 ① 检验解是否满足方程组；② 检验解是否符合实际意义（如人数、数量为正整数） 避免 “数学解” 不符合实际（如出现负数、小数） 6. 答 用完整的语言回答题目问题（呼应设元的含义） 单位要统一（如 “千克”“个”“元”），答案要明确 二、常见题型分类（含等量关系 + 例题解析） 题型 1：和差倍分问题（最基础） 核心等量关系： 和关系：A + B = 总数量 差关系：A - B = 差值 倍分关系：A = k×B（k 为倍数，如 “3 倍”“一半”） 例题： 某班共有学生 45 人，男生人数比女生人数的 2 倍少 9 人，求男生和女生各有多少人？ 审题：已知总人数 45，男生 = 2× 女生 - 9，未知量是男、女生人数。 设元：设女生人数为 x 人，男生人数为 y 人。 列方程组： { x+y=45 y=2x−9 ​ 求解：代入消元法，将第二个方程代入第一个： x+(2x−9)=45 → 3x=54 → x=18 ，则 y=2×18−9=27 。 检验：18+27=45（符合总人数），27=2×18-9（符合倍分关系），人数为正整数。 答：女生 18 人，男生 27 人。 题型 2：行程问题（重点） 核心公式： 路程 = 速度 × 时间（s=vt） 常见细分场景： 相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程 追及问题：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离 往返问题：去程路程 = 返程路程 例题（相遇问题）： A、B 两地相距 360km，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，3 小时后相遇。已知甲车速度是乙车速度的 1.5 倍，求甲、乙两车的速度各是多少？ 设元：设乙车速度为 x km/h，甲车速度为 y km/h。 等量关系：① 甲车速度 = 1.5× 乙车速度；② 3 小时甲路程 + 3 小时乙路程 = 360km。 列方程组： { y=1.5x 3x+3y=360 ​ 求解：代入消元， 3x+3×1.5x=360 → 7.5x=360 → x=48 ，则 y=72 。 答：乙车速度 48km/h，甲车速度 72km/h。 题型 3：工程问题（类比行程问题） 核心公式： 工作量 = 工作效率 × 工作时间（总工作量通常设为 1） 常见等量关系： 甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量 合作效率 = 甲的效率 + 乙的效率 例题： 一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。现在甲、乙合作，多少天能完成这项工程的 3 2 ​ ？（拓展：若设合作 x 天，可列一元一次方程，但此处用二元一次方程组示范 “设效率”） 设元：设甲的工作效率为 x（每天完成工程的几分之几），乙的工作效率为 y。 等量关系：① 10x=1（甲 10 天完成总工作量 1）；② 15y=1（乙 15 天完成总工作量 1）；③ 合作 x 天的工作量： t(x+y)= 3 2 ​ （t 为合作时间，未知量）。 列方程组： { 10x=1 15y=1 ​ → 解得 { x= 10 1 ​ y= 15 1 ​ ​ 再代入 t( 10 1 ​ + 15 1 ​ )= 3 2 ​ → t× 6 1 ​ = 3 2 ​ → t=4 。 答：合作 4 天能完成工程的 3 2 ​ 。 题型 4：销售利润问题（高频考点） 核心公式： 利润 = 售价 - 进价（成本） 利润率 = 利 润 进 价 总利润 = 单件利润 × 销售量 例题： 某商店购进一批衬衫，甲种衬衫每件进价 150 元，售价 200 元；乙种衬衫每件进价 100 元，售价 140 元。该商店购进两种衬衫共 100 件，售完后共获利 4200 元，求购进甲、乙两种衬衫各多少件？ 设元：设购进甲种衬衫 x 件，乙种衬衫 y 件。 等量关系：① 甲的件数 + 乙的件数 = 100；② 甲的总利润 + 乙的总利润 = 4200。 列方程组： { x+y=100 (200−150)x+(140−100)y=4200 ​ 简化为： { x+y=100 50x+40y=4200 ​ 求解：加减消元，第一个方程 ×40： 40x+40y=4000 ，减去第二个方程： 10x=200 → x=20 ，则 y=80 。 答：购进甲种衬衫 20 件，乙种衬衫 80 件。 题型 5：配套问题（易错点） 核心等量关系： 两种零件的数量比 = 配套比例（如 “1 个 A 配 2 个 B”，则 A 的数量 ×2 = B 的数量） 例题： 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母。1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 设元：设安排 x 名工人生产螺钉，y 名工人生产螺母。 等量关系：① 生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 22；② 螺母数量 = 2× 螺钉数量。 列方程组： { x+y=22 2000y=2×1200x ​ 简化为： { x+y=22 5y=6x ​ 求解：代入消元， y=22−x ，代入第二个方程： 5(22−x)=6x → 110=11x → x=10 ，则 y=12 。 答：安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。 题型 6：浓度问题（拓展） 核心公式： 溶质质量 = 溶液质量 × 浓度（如盐的质量 = 盐水质量 × 含盐率） 等量关系： 混合前溶质总质量 = 混合后溶质总质量 混合前溶液总质量 = 混合后溶液总质量 例题： 现有含盐 10% 的盐水 200kg，要配制成含盐 15% 的盐水，需要加入含盐 25% 的盐水多少千克？ 设元：设加入含盐 25% 的盐水 x kg，配制成的盐水总质量为 y kg。 等量关系：① 200 + x = y；② 200×10% + 25% x = 15% y。 列方程组： { x+200=y 20+0.25x=0.15y ​ 求解：代入消元， 20+0.25x=0.15(x+200) → 20+0.25x=0.15x+30 → 0.1x=10 → x=100 ，则 y=300 。 答：需要加入含盐 25% 的盐水 100kg。 三、易错点总结（避坑指南） 设元不明确：未说明未知数的含义（如 “设 x 为甲，y 为乙”），导致后续答题混乱。 等量关系找错：混淆 “和差倍分” 的逻辑（如 “甲比乙多 3” 写成 x+3=y，正确应为 x-y=3）。 单位不统一：如速度单位一个是 “km/h”，一个是 “m/min”，未转化就列方程。 忽略实际意义：解为负数、小数（如人数、件数），未检验就答题。 计算错误：代入消元或加减消元时符号出错（如移项未变号、系数化 1 时算错）。 四、配套练习（基础 + 提升） 基础题（必做） 某工厂去年的总收入比总支出多 50 万元，今年的总收入比去年增加 10%，总支出比去年减少 20%，今年的总收入比总支出多 100 万元，求去年的总收入和总支出各是多少万元？ 甲、乙两人相距 40km，相向而行，甲的速度是 6km/h，乙的速度是 4km/h，几小时后两人相遇？（用二元一次方程组解，提示：设时间为 t，甲走的路程为 x，乙走的路程为 y） 提升题（选做） 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只。现计划用 132 米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少米布料做衣身和衣袖，才能使做的衣身和衣袖刚好配套？（1 件上衣配 2 只衣袖） 甲、乙两种商品的进价和为 100 元，甲商品按 30% 的利润定价，乙商品按 20% 的利润定价，后来两种商品都按定价的 9 折出售，共获利 14.3 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ 五、总结 列二元一次方程组解实际问题的关键是 “找准等量关系”—— 先通过审题明确 “两个核心数量关系”，再将其转化为方程。解题时要遵循 “六步走”，避免易错点，同时注意结合实际场景检验答案的合理性。通过多练习不同题型，可熟练掌握 “数学建模” 的思维，应对各类实际问题。