平面直角坐标系：坐标方法的简单应用 一、用坐标表示地理位置 步骤： 建立坐标系：选择适当参照点为原点，确定 x 轴 (通常向东)、y 轴 (通常向北) 正方向 确定单位长度：根据实际问题设定合适的比例尺 描点标注：在坐标平面内画出各点，写出坐标和地点名称 要点： 原点选取要 "适当"(如区域中心或标志性地点)，使计算简便 不同原点会导致同一地点坐标不同，但相对位置不变 ** 例：** 以学校为原点，建立坐标系表示周边设施位置： 超市 (300, 0)：表示在学校正东 300 米 医院 (-200, 150)：表示在学校西 200 米，北 150 米 二、用坐标表示平移 1. 点的平移规律 平移方向 坐标变化 示例 向右 a 单位 x+a, y 不变 (2,3)→(5,3) 向左 a 单位 x-a, y 不变 (2,3)→(-1,3) 向上 b 单位 x 不变，y+b (2,3)→(2,5) 向下 b 单位 x 不变，y-b (2,3)→(2,1) 口诀："左减右加 (横不变)，上加下减 (纵不变)" 2. 图形的平移 图形整体平移时，所有顶点按相同规律变化 已知一对对应点坐标，可确定整个图形的平移方式 例：△ABC 顶点为 A (1,2)、B (3,4)、C (5,1)，将其向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位： A'(1+2, 2-1)=(3,1) B'(3+2, 4-1)=(5,3) C'(5+2, 1-1)=(7,0) 三、用坐标表示对称点 1. 关于 x 轴对称 点 (a,b)→(a,-b) ** 特点：** 横坐标不变，纵坐标互为相反数 2. 关于 y 轴对称 点 (a,b)→(-a,b) ** 特点：** 纵坐标不变，横坐标互为相反数 3. 关于原点对称 点 (a,b)→(-a,-b) ** 特点：** 横、纵坐标均互为相反数 ** 例：** 点 P (4,-3) 的对称点： 关于 x 轴：(4,3) 关于 y 轴：(-4,-3) 关于原点：(-4,3) 四、坐标计算：距离与中点 1. 两点间距离公式 点 A (x₁,y₁) 和 B (x₂,y₂) 的距离： AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²] ** 推导：** 利用勾股定理，构建直角三角形，两直角边分别为 | x₂-x₁| 和 | y₂-y₁| ** 例：**A (2,3)、B (5,7) 间距离：AB=√[(5-2)²+(7-3)²]=√[9+16]=√25=5 2. 中点坐标公式 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 的中点 M 坐标： M ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) ** 例：**A (1,3)、B (5,7) 的中点 M：M ((1+5)/2, (3+7)/2)=(3,5) 五、坐标方法的实际应用 1. 地图定位 城市规划、旅游景点分布、物流配送路线等 通过经纬度确定地球上任意位置 (特殊的坐标系应用) 2. 几何图形计算 已知多边形顶点坐标，可求面积： 将多边形分割成三角形或矩形，计算各部分面积之和 或用 "矩形包围法"：用矩形面积减去周围三角形面积 ** 例：** 三角形顶点 A (0,0)、B (4,0)、C (2,3) 的面积：以 AB 为底，高为 3，面积 =½×4×3=6 3. 运动轨迹描述 物体移动路径可通过坐标变化直观展示 如：机器人行走、游戏角色移动等 ** 例：** 一只蚂蚁从原点 (0,0) 出发，按 "上→右→下→右" 循环移动，每次 1 单位： A₁(0,1)→A₂(1,1)→A₃(1,0)→A₄(2,0)→A₅(2,1)... 规律：A₄ₙ=(2n,0)，如 A₂₀=(10,0) 总结：坐标方法的优势 数形结合：将几何问题转化为代数计算，直观且精确 统一标准：提供描述位置和运动的通用语言，便于交流和计算 广泛应用：从地图导航到机器人控制，从建筑设计到游戏开发，坐标方法无处不在