name:第三部分：使用归纳法证明递归算法的正确性 scene1 title:归纳法与递归算法 scene1 content:数学归纳法和强归纳法是证明递归算法正确性的有力工具。因为递归算法的结构天然地与归纳法的证明结构相匹配。 scene2 title:实例：计算幂的递归算法 scene2 content:我们来看一个计算a的n次幂的递归算法。当n=0时，返回1；否则，返回a乘以power(a, n-1)的结果。我们要证明这个算法对于所有非负整数n都能正确计算出a的n次方。 scene3 title:建立证明框架 scene3 content:我们使用对指数n的归纳法来证明。设P(n)为命题：函数power(a, n)能正确返回a的n次方。 scene4 title:基础步骤：证明P(0) scene4 content:基础步骤是证明P(0)为真。根据算法定义，当n=0时，函数直接返回1。而任何非零实数a的0次方都等于1。因此，P(0)成立。 scene5 title:归纳步骤：归纳假设P(k) scene5 content:我们的归纳假设是：对于某个非负整数k，P(k)为真。也就是说，我们假设power(a, k)能够正确地返回a的k次方。 scene6 title:归纳步骤：证明P(k+1) scene6 content:现在我们需要证明P(k+1)也为真。根据算法，power(a, k+1)会返回 a * power(a, k)。根据我们的归纳假设，power(a, k)的结果是a的k次方。所以，整个表达式的结果是 a * a^k，也就是a^(k+1)。 scene7 title:结论 scene7 content:我们已经证明了基础步骤和归纳步骤都成立。因此，通过数学归纳法，我们得出结论：这个递归算法对于所有非负整数n和非零实数a，都能正确地计算出a的n次方。