name:第二部分：强归纳法及其应用 scene1 title:什么是强归纳法？ scene1 content:现在我们来学习强归纳法。与普通归纳法不同，强归纳法的归纳假设更“强”。它假设从P(1)到P(k)所有的命题都为真，并以此为基础来证明P(k+1)为真。 scene2 title:强归纳法的步骤 scene2 content:强归纳法的步骤包括：基础步骤，这里可能需要验证多个初始情况，比如P(1), P(2)等。然后是归纳步骤，即证明 (P(1) ∧ P(2) ∧ ... ∧ P(k)) → P(k+1) 这个条件语句对于所有正整数k都成立。 scene3 title:应用实例：邮票问题 scene3 content:让我们用一个有趣的例子来理解强归纳法：证明任何大于等于12分的邮资，都可以由4分和5分的邮票组合而成。 scene4 title:定义命题P(n) scene4 content:首先，我们定义命题P(n)为：n分的邮资可以由4分和5分的邮票组合而成。我们的目标是证明对于所有n≥12，P(n)都为真。 scene5 title:基础步骤 (Basis Step) scene5 content:对于这个问题，我们需要验证几个基础情况。例如：P(12)可以通过3张4分邮票实现。P(13)可以通过2张4分和1张5分邮票实现。P(14)是1张4分和2张5分。P(15)是3张5分。这些基础情况都成立。 scene6 title:归纳步骤 (Inductive Step) scene6 content:我们的归纳假设是：对于从12到k的任意整数j，P(j)都为真。现在我们要证明P(k+1)也为真。我们可以考虑k+1分的邮资，减去一张4分的邮票，剩下k-3分。因为我们假设P(k-3)为真，所以k-3分的邮资可以组合出来，那么k+1分的邮资也就可以组合出来了。 scene7 title:强归纳法总结 scene7 content:通过邮票问题的例子，我们可以看到，当证明P(k+1)需要依赖不止P(k)一个前项时，强归纳法就显得非常有用。它为我们提供了更强大的假设基础。