name:第一部分：数学归纳法回顾 scene1:欢迎语与课程介绍 scene1:大家好，欢迎来到ICS 241课程的第14个主题：归纳法回顾与程序验证。本节课我们将回顾数学归纳法，并学习如何应用它来证明程序的正确性。 scene2:什么是数学归纳法？ scene2:数学归纳法是一种重要的证明技术。它的核心思想可以表示为一个推理规则：如果我们能证明P(1)为真，并且能证明对于任意的k，如果P(k)为真则P(k+1)也为真，那么我们就可以断定P(n)对于所有正整数n都为真。 scene3:证明实例：前n个正整数的和 scene3:让我们来看一个经典的例子：证明前n个正整数的和等于 n*(n+1)/2。我们将使用数学归纳法来证明这个公式的正确性。 scene4:第一步：基础步骤 (Basis Step) scene4:证明的第一步是基础步骤。我们需要验证当n=1时，命题P(1)是否成立。将n=1代入公式，左边是1，右边是1*(1+1)/2，也等于1。所以，P(1)为真。 scene5:第二步：归纳步骤 (Inductive Step) - 归纳假设 scene5:接下来是归纳步骤。我们首先做出归纳假设：假设对于某个正整数k，命题P(k)是成立的。也就是说，我们假设前k个整数的和确实等于 k*(k+1)/2。 scene6:归纳步骤 - 证明P(k+1) scene6:现在，我们需要在归纳假设的基础上，证明P(k+1)也成立。P(k+1)指的是前k+1个整数的和。我们可以把它写成前k项和，再加上第k+1项。 scene7:代数推导 scene7:根据归纳假设，我们将前k项和替换为k*(k+1)/2。然后通过通分和提取公因式(k+1)进行代数运算，最终得到表达式 (k+1)*(k+2)/2。这正是我们想要证明的P(k+1)的形式。 scene8:结论 scene8:因为我们成功证明了基础步骤和归纳步骤，所以根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于所有正整数n，前n个正整数的和的公式是成立的。